Le corps zéro

Le corps Zéro, $(\{0\},+,\cdot )$, est un outil très puissant inventé par les mattezmatthychiens du XXI^e siècle afin de modéliser les structures les plus compliquées en mattezmatike telles que la tête à Toto ou la tête à Tata (moins connue).

(la seconde fautographie nécessite une expertise quant à son authenticité)

Le groupe zéro

Le simpleton $\{0\}$ muni de la loi $+$, qui est usuellement définie par : $\forall (x,y)\in \{0\}^{2}\,x+y=x=y=0$ est un groupe abélien : en effet :

• Cette loi est associative :

      $\forall (x,y,z)\in \{0\}^{3}\,(x+y)+z=0+z=0=x+(y+z)$

• L'ensemble admet un élément neutre pour cette loi :

      $\exists e=0\in \{0\}\,\forall x\in \{0\},x+0=0+x=0$

• Tout élément est inversible pour cette loi :

      $\forall x\in \{0\},\exists x'=0\in \{0\},x+x'=x'+x=0$

Les propriétés précédentes montrent que $(\{0\},+)$ est bien un groupe, cependant la commutativité n'a pas connu de démonstration rigoureuse à ce jour, elle a été conjecturée et empiriquement vérifiée par le célèbre mattezmatthysien Toto Poingcarré, qui a consacré toute sa vie à l'étude du groupe zéro.

Quelques propriétés du groupe zéro :

• Le groupe zéro n'admet qu'un seul sous-groupe trivial : lui même, qui d'ailleurs est son seul sous-groupe.
• Le résultat précédent peut être redémontré avec le théorème de Lagrange, méthode beaucoup plus métaphysiquement et intellectuellement satisfaisante.

L'annal zéro

« Mon précieux ! »

~ Gollum à propos de l'annal zéro

On définit alors la loi multiplicative $\cdot$, qui est en fait la même que la loi additive, sur l'ensemble considéré, et on vérifie que :

• Il existe un élément neutre pour cette loi, le même que celui de la loi additive (puisque c'est la même loi).
• Tout élément est inversible pour cette loi (je sais, je radote)
• On peut vérifier aisément que la loi multiplicative est distributive à droite par rapport à la loi additive :

    $\forall (x,y,z)\in \{0\}^{3}\,(x+y)\cdot z=0\cdot 0=x\cdot z+y\cdot z$

• Cette loi est supposée commutative grâce aux travaux de Mr Poingcarré
• Et en vertu de la commutativité de cette loi, on peut alors s'autoriser le privilège de vérifier la distributivité à gauche

Donc le singleton zéro muni de ces deux lois (cette loi deux fois quoi...) forme un annal commutatif, pratique pour généraliser les formules suivantes :

    $\forall (x,y)\in \{0\}^{2}\,\forall n\in \mathbb {N} ,(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}\cdot y^{n-k}$
    $\forall (x,y)\in \{0\}^{2}\,\forall n\in \mathbb {N} ,x^{n}-y^{n}=(x-y)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}x^{k}\cdot y^{n-1-k}$

• On retrouve un résultat bien connu ; en effet, la con vention veut que $0^{0}=1$, on a alors $(0+0)^{0}=1$ qui est égale d'après la formule de nœud-thon appliquée au rang zéro à $0^{0}+0^{0}=2$, il s'en suit que $1=2$ et que tous les nombres sont égaux, et en particulier égaux à zéro, donc {0} est isomorphe à tous ses sur-corps. Ce qui démontre l'importance de ce singleton.
• L'annal zéro admet un seul idéal trivial, qui d'ailleurs est son seul idéal ; de plus cet idéal est principal (et en fait c'est même un sous-annal), donc l'annal zéro est principal.
• L'annal zéro peut aussi s'écrire $(\{0\},\cdot ,+)$, les deux lois peuvent jouer le rôle de loi multiplicative ou additive selon l'humeur. L'annal zéro est donc un double-annal.
• L'annal zéro est bien sûr intègre : $\forall (x,y)\in \{0\}^{2}\,x\cdot y=0\Rightarrow x=0\,\wedge \,y=0$. Remarque : la propriété impliquée étant toujours vraie, j'ai mis "ou", mais ç'aurait pu être "et", personne s'en rendrait compte...

Le corps zéro

• Tout élément est inversible, on l'admet car la démonstration nécessiterait tellement de papier que l'on devrait abattre tous les arbres de la forêt amazonienne, et on aura plus de p.q. quand les maths nous feront chier
• Le corps zéro est isomorphe au corps un, ce dernier muni des lois : la multiplication et de l'élévation à la puissance ! L'isomorphisme en question est la restriction à zéro de la fonction définie par $f:x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot \int _{\ln x}^{1/x^{2}}e^{-t^{2}}dt$ où π est la constante d'Archi-mède.

Autres propriétés

• Paradoxalement, dans le cas présent, un élément nilpotent est simplifiable et même inversible : $0^{-1}=0$
• On peut définir l'anneau du polynôme nul sur ce corps, alors $P[{0}]$ est un espace de dimension zéro sur zéro, il a même une structure d'algèbre
• L'application constamment nulle est alors le seul endomorphisme de {0}, il en est même un automorphisme !
• Si on considère la restriction de cette application aux polynômes de degré inférieur à n à coefficients dans {0}, en fait il n'y a pas de restriction à proprement dit, la matrice de cette application dans la base canonique qui n'existe pas est une matrice carrée nulle d'ordre n+1 (notons que cette matrice est inversible ici...)

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