Théorie des ensembles

Depuis leur apparition les mathématiques n'ont eu de cesse de gagner en complexité, et ce au détriment de l'humanité qui les a créées (les garces). Aussi dès le XVII siècle seule une élite minoritaire, les mathématiciens, peut prétendre les comprendre et le siècle suivant voit même les plus faibles d'entre eux perdre lamentablement pied. C'est le cas de Georg Cantor, devenu la risée de ses collègues par son incapacité à percevoir certaines subtilités évidentes pour ces derniers, il va, avec d'autres parias, créer une nouvelle branche mathématique adaptée aux moins bien munis: la théorie des ensembles.

C'est quoi un ensemble?

Informellement, un ensemble c'est comme un sac de billes, le sac symbolise l'ensemble dont les éléments sont les billes (celle dans le sac évidemment). L'ensemble doit être vu comme une association; à la place de billes, le ou les éléments peuvent être tout et n'importe quoi: un chien, un gland, une merde, toi, ou encore Jesus et ses potes ou l'ensemble des poils de cul de la planète. Bref, la notion est simple mais trés générale, c'est ce qui fait sa force.

Formellement, un ensemble c'est un truc qui a des éléments, mais pas trop gros. Pour plus de détails: voir la théorie naïve (conseillée aux débutants) et la théorie axiomatique.

Théorie naïve des ensembles

Cantor à l'âge de 27 ans

1872, Berlin. Cantor achève sa thèse, long et douleureux passage obligé sur le chemin l'élévation intellectuelle. Certes, il en ressort vieilli par l'effort fourni dans l'obtention d'un bien maigre résultat, mais le voilà diplomé et enfin part du monde scientifique: il passe désormais ses tristes journées gribouillant des cercles sur des feuilles à la recherche de l'inspiration. Pire, il nourrit un sombre dessein; ridiculiser ceux qui ont manqué de gentillesse à son égard, ceux qui ont ri de sa faible cervelle, ceux qui se sont gaussés des efforts démesurés que lui a coûté le statut de chercheur. C'est beau la recherche. Mais il ne trouve rien et il n'en peut plus; avec l'imagination atrophiée dont la nature lui a fait grâce, la mort devient une alternative charitable à l'infécondité de son esprit. La tranquillité éternelle, il faut être fou pour refuser! C'est beau le trouble bipolaire.

Le 28 juin de la même année vers quinze heures, n'ayant plus aucun doute sur la marche à suivre, il se lève soudainement de cette chaise sur laquelle il n'a que trop moisi. Il jette un dernier regard à son oeuvre morte-née, à cet instant, un amas d'envoutantes courbes manuscrites... Ah! Si seulement il pouvait, il les enfermerait tous dans ce cercle, là, les enverraient tous dans la douzième dimension et bon débarras. Ou direction le Plötzensee. Quelle idée absurde quand même. Et avec un trait je les sépare, la moitié pour fond du Plötzensee, l'autre dans la douzième. Georg se rassoit et commence a gribouiller, animé d'une nouvelle flamme intérieure. Envolées les tendances suicidaires (pour le moment), disparu le manque d'inspiration.

Ainsi nait la théorie des ensembles.

Représentation d'ensembles

Exemple de représentation ensembliste

La première représentation abstraite des ensembles est donc celle des patates, ou ellipses quand on veut faire le malin, qui consiste à symboliser les ensembles par de telles figures géométriques.

	Georg Cantor s'exclame :
	« Et ouais c'est mes idées à moi ça! »

Comme on peut le voir dans l'exemple donné, cette méthode illustre à merveille l'adage: un beau dessin vaut mieux qu'un long discours. De nombreuses informations sur les relations entre les ensembles présentés sont disponibles d'un simple coup d’œil.En outre, l'image représente son profond amour pour les parties génitaux masculines. Il essayait de représenter son affection envers son adorable petit pénis avec son ensemble, mais malheureusement il ne le trouvais guère érotique et il décide le cacher dans son armoire qui lui mène vers le monde magique de Narnia qui situait prés du domicile du père noël

Infinis

En parlant de nouvelles idées loufoques, en voici une qui fit la gloire de Cantor: l'infini, non seulement ça existe, mais en plus il y en a plein.

	Georg Cantor s'exclame :
	« Et ouais! »

Un jour alors qu'il prenait sa petite tasse de lait de brebis, il aurait vu la charmante moustache de Hitler sur son Ipad3 puis il tombe furieusement en amour avec celui-là. Il décide se convertir en juif puisque c'est le seul moyen de s'approcher de son camp. Il créa alors l'infini.

Théorie axiomatique des ensembles

La théorie de Cantor rencontre à ses débuts un certain succès, emmenée vers les sommets par quelques gauchos qui y voient un moyen d'homogénéiser la donne dans les rangs de mathématiciens: nombre de leurs illustres représentants sont pieux et conservateurs (bref des gens bien comme il faut). Voyant cet ancien souffre-douleur leur rire au nez, les vrais mathématiciens, qui eux ne peuvent blairer Cantor, décident de lui rendre la monnaie de sa pièce. Et quelle meilleure façon que de transformer sa théorie en une branche toute aussi incompréhensible pour les misérables de son genre que ne le sont le reste des mathématiques. Ainsi nait la théorie axiomatique des ensembles.

	Le conseil de Carl Friedrich Gauss :
	« Ne suivez pas la voie de Cantor, il n'a guère sa place parmi nous... »

Des axiomes

Dans axiomatique, il y a axiom, qui vient de l'anglais axiom qui signifie axiome (en français). La théorie axiomatique des ensembles se base donc sur quelques axiomes, comprenez formules issues des vraies mathématiques et du coup illisibles pour le commun des mortels, desquels on déduit par des moyens parfois douteux la quasi-totalité des mathématiques. On va en donner deux exemples:

Axiome d'extentionnalité

Enoncé: $\forall x\forall y\forall z((z\in x\leftrightarrow z\in y)\leftrightarrow x=y))$

Tout ça pour dire que si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux. Notez donc que s'il faut un bac+5 pour lire l'axiome dans son écriture formelle, même un brevet des collèges n'est pas exigé pour comprendre la version décryptée.

Application: Cela permet d'affirmer qu'un ensemble dont on a déterminé tous les éléments est unique, même si on peut l'exprimer de différentes manières.

Exemple: L'ensemble des résidences secondaires de Johnny Halliday est égal à l'ensemble des résidences secondaires de Jean-Pierre Smet. Ou encore, l'ensemble des cheveux de BHL est égal à l'ensemble des cheveux de BHL et de Mr. Propre réunis. (Méditez sur ça)

Axiome de Compréhension

Alors là ça se complique et c'est pas joli à voir (donc on ne verra pas). Ce que dit cet axiome, c'est que les éléments dans un ensemble vérifiant une même propriété forment un nouvel ensemble. Un axiome essentiel, qui permet de grandes avancées comme le montre son application suivante.

Exemple important: Considérons l'ensemble A des paroles possibles et les formules F(x): « x est un drôle » et G(y): « Ruquier dit y ».

Par le schéma d'axiome de compréhension, $\{x\in A\mid F(x)\wedge G(x)\}$ est un ensemble ; or son étude un tant soit peu attentive montre que cet ensemble est trivialement vide.

Conclusion: il existe un ensemble qui n'a aucun élément, et il est unique grâce à l'axiome d'extentionnalité. On l'appelle ensemble vide.

Attention, l'unicité de l'ensemble n'entraine pas l'unicité de son obtention, les cheveux de Mr. Propre ou les neurones de Lorie n'auraient rien changé dans notre exemple.

Paradoxes

Bertrand Russel : Un axiome de plus pour prouver plus

La première version de la théorie des ensembles souffrait d'un grave problème : elle aurait mis au chômage tous les mathématiciens. En effet, elle permettait de prouver tous les théorèmes de manière automatique et en un nombre constant d'étapes de raisonnement. On en rappelle le principe ci-dessous :

Soit $P$ une proposition à démontrer. On suppose par l'absurde que $\neg P$ et on en déduit une contradiction. Soit $X=\{x\mid x\not \in x\}$ l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Si $X\in X$, par construction, $X\not \in X$ : absurde. Par symétrie, si $X\not \in X$, on obtient la propriété inverse : absurde. Donc $P$.

C'est Bertrand Russel, un politicien visionnaire, qui avait remarqué cette fantastique propriété de l'ancienne axiomatique. Elle aurait permis de se débarrasser une fois pour toute des chercheurs en mathématiques. Ç'eût été une avancée sans précédent dans l'histoire des réformes gouvernementales, car toutes les études sérieuses s'accordent à dire que le chercheur type est un crisse de gôchisse fainéant et qui préfère faire la grève au frais de l'État plutôt que d'aller travailler pour de vrai dans le privé.

Hélas, les voix nombreuses des francs-maçons ont préféré tuer dans l'oeuf cette réforme, sous la pression des puissants syndicats de mathématiciens, et une loi fut votée pour restreindre le pouvoir du principe de compréhension.

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