Raisonnement mathématique
Le raisonnement en mathématique est une des sous-branches de l'arbre sans racines mais à 69 branches des mathématiques traditionnelles. Le pivert posé sur cette sous-branche nous explique comment parvenir à démontrer un résultat en mathématiques, par l'intermédiaire de quelques outils divers, dont le raisonnement par l'absurde, la Démonstration par récurrence, la clé de 12 et la Conjecture, parmi tant d'autres. Cet article reprend des concepts d'autres articles, c'est pourquoi nous vous demanderons de ne pas brûler votre unité centrale ni de suicider l'auteur de cet article (il y arrivera bien tout seul). Les raisonnement présentés forment une liste non-non-exhaustive, donc oui-oui-exhaustive.
Historique
Les premiers précurseurs initiaux qui ont commencé à débuter les prémisces du commencement du raisonnement sont le célèbre philosophe-clochard-transexuel-chanteuse Padbol (à l'origine du terme Facteur padbol) et le glacier, programmeur de génie Pascal (probablement un type bien) qui en plus de s'éclater avec des triangles, ustensile idolâtré de son panel de jeux pour les enfants de bas-âge, se dit un jour « tiens, si je réfléchissais aux conneries que je dis ? »
Limites du raisonnement
Certaines choses ne peuvent pas être démontrées, par exemple dans le cas du calcul de la valeur de la lettre B dans un plan lorentzien et non newtonien, on arrive à un paradoxe temporel d'ordre ++++ qui induit que B est en fait la moitié de N : voir l'article B beaucoup plus détaillé sur le sujet.
La solution toute trouvée pour ce genre de problèmes est donc de faire un choix, en utilisant l'Axiome du choix. Par exemple, on va choisir que B est la moitié de N et on en déduira qu'il ne faut pas voter à droite mais en haut, que si vous faites des mathématiques intéressantes il faudra préférer la Star Academy (Padbol provient de cette école) et qu'alors le téton est à la tétine ce que le chêne est au sapin ; voir l'article sur l'axiome du choix pour de plus amples dÉsexplications.
Puissance du raisonnement
Les mathématiciens sont particulièrement puissants (on dit même des fois surPissants), le côté obscur leur a accordé un pouvoir démesuré et un sacré nombre de pétards fourrés au caramel mou, ce qui a donné naissance aux nombres complexes dans un premier temps, puis après une bonne cuite à la Vodka Malabar et au Panaché, les strip-teaseurs du C.R.O.U.T.O.N. (Centre de Recherche en Orientation Universelle Terrestre Obligatoirement Numérique) ont inventé les nombres grave imaginaires, avant de faire une série de comas hydrauliques qui les a menés à la fermeture de la centrale nucléaire de Chatuzange-le-Goubet.
Précision mathématique
Je vous écris cette petite parabole (gentiment fournie par Canal Satellites) : un mathématicien, un physicien et un biologiste sont dans un train et regardent un mouton noir dans un champ irlandais. Le biologiste dit :
- - Tous les moutons irlandais sont noirs.
Le physicien rétorque :
- - C'est faux, on peut juste dire qu'il y a un mouton noir en Irlande.
Le matheux boutonneux et frustré depuis sa plus tendre enfance à cause de sa mère alcoolique souffrant d'un complexe d'infériorité numérique qui en plus vient de se faire une épilation intégrale (cherchez, il y a un jeu de mots) et de son père politicien d'un parti politique divisé euclidiennement (ça sent le vécu), répond d'un coup sec mais puissant :
- - C'est inexact. On peut juste dire qu'en Irlande, il y a au moins un champ dans lequel il y a au moins un mouton dont au moins un des côtés de la toison est noir.
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Principe de base : la démonstration
Comme il est expliqué ici, démontrer, c'est ne pas montrer. Il faut donc un détective (c'est à dire quelqu'un qui ne tecte pas, c'est à dire qui ne danse pas la tecktonik. Voir cet article qui reprend certains concepts présentés ici également.
Types de raisonnement
Raisonnement par récurrence
Tout est déjà expliqué ici. Un petit exemple de plus : les échelles ont été fabriquées pour être montées.
- Preuve : Initialisation : je repère une échelle (ce n'est déjà pas facile du tout). Une fois que je la vois, je me positionne devant elle de telle manière à ce qu'elle soit derrière moi et que je puisse la voir. Je suis au niveau du sol, c'est à dire le niveau 0, donc la propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : Par une puissance digne de Chuck Norris et des autres dieux, j'arrive (incroyable!) à sauter en parachute d'un avion de la SuissAir (qui venait de dire bonjour à un OVNI de type Ségolène Royal) et par une télépathie de niveau extrêmement avancé qui force ma jambe de gauche à se réveiller de son hibernation d'été, cette dernière atteint (péniblement, certes) le barreau suivant de l'échelle.
- Conclusion : tous les chamois néo-zélandais ne supportent pas Sébastien Chabal.
Preuve par l'évidence
Cette structure de preuve est très courante en mathématique. Elle consiste à appliquer le Théorème de David Copperfield et à dire que c'est "totalement évident", "totalement trivial", ou quelque chose d'apparenté. Encore mieux, on prend la définition propre du mot évidence, c'est-à-dire qui ne se laisse pas facilement impressionner lors d'un concert de grenouilles mâles en rut, et on remarque que si ç'a été dit plus tard dans une question, c'est que c'était déjà vrai au début de l'exercice en question.
Exemple : 1) Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs, en supposant que 1 = 0.
- 2) En déduire que 1 = 0.
Preuve : 1) On s'imagine aisément une représentation complexe de dimension finie. Quand on la regarde de la gauche vers la droite dans le noir avec une main devant l'oeil gauche et l'autre dans le caleçon, on conjecture facilement qu'on peut l'obtenir par l'action de plein de pitites monodromies toutes mignonnes sur une équation coquine différentielle de cet enfoiré de Fucks. Le reste est trivial, d'après le théorème de David Copperfield, donc c'est vrai.
- 2) C'est vrai, d'après la question 1.
Le raisonnement par l'absurde
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Jean le Rond d'Alembert dit : |
| « Zyva, trop d'la balle ! » |
Le principe du raisonnement par l'absurde est de supposer que quelque chose est faux, puis de montrer que quelque chose qui était vrai est en fait faux, ce qui implique que ce qui est faux est vrai donc ce qui est vrai est aussi faux que le fait qu'on ne puisse pas dire avec certitude ou pas qu'il n'existe peut-être pas aucune vérité qu'on ne sache pas être capable de ne pas être supposée comme n'étant pas fausse. Bref, c'est du grand n'importe quoi, c'est pourquoi on dit plutôt que c'est absurde, en analogie à Tokio Hotel.
Exemple : théorème de la non-parenté : Personne n'a de tantes.
- Preuve : Supposons que j'ai une tante. Mais alors, si ma tante en avait, alors ce serait mon oncle ! Donc ma tante est mon oncle ! Donc ma tante est un transexuel brésilien. Or, il est bien connu qu'au Brésil, à cause des nombreuses pluies amazoniennes, il est très difficile de faire du camping ; pas de camping, pas de tentes, donc pas de tantes au Brésil. Donc personne n'a de tantes, CQFD (ce quatuor fédérateur daltonien).
Autre exemple : Théorème du désintérêt arithmétique
Un autre autre exemple : la preuve que Jésus Christ a compté indirectement les brebis, fondant ainsi la base de l'Arithmétique des moutons.
Le raisonnement par l'absurde évidence
Ce raisonnement est en fait l'application des deux techniques précédentes. Il est très facile à utiliser et permet d'avoir rapidement des résultats concluants (il peut même faire le café) C'est ce type de raisonnement qu'a employé le physicien Walter Killingston en 1734 pour démontrer dans sa thèse sur l'Existentialisme des fruits de mer au Moyen-Orient et leur impact dans le rétablissement de la Force après la chute de l'Empire (aux éditions J'ai Lu de Gallimard Jeunesse) que Kirby n'était en réalité qu'un shamallow avec des yeux et une voix de chiotte.
Exemple trivial : Démontrons que Tokio Hotel est composé de puceaux émos boutonneux.
- Première étape : raisonnement par l'absurde : Je suppose donc que Tokio Hotel n'est PAS composé de grosses brèles prépubertes
- Deuxiéme étape : preuve par l'évidence : Ah mais non ce n'est pas imaginable. Faites-moi rire !! Haha elle est bien bonne ..
CQFD (Cervoise de Quimper Fraichement Débouteillé)
Le raisonnement par contraposition de l'autre côté du mauvais sens
Ce type de raisonnement permet, une fois une propriété établie, d'en déduire une autre qui se lit dans l'autre sens : dans le principe, c'est si j'ai A, alors j'ai B et on en déduit si j'ai pas B, c'est que j'avais pas A, pauvre tâche (si on la retourne une fois de plus, on en déduit cette fois si j'avais pas pas A pauvre tâche, c'est que j'avais pas pas B, espèce de racoleur de canards boîteux, et ainsi de suite (voir l'article sur la récurrence).
Exemple : principe de la malbouffe : Tout ce qu'on bouffe sauf la Danette c'est dégueu.
- Preuve : on a la propriété évidente si c'est bon, c'est Danette. Par contraposition, on obtient si c'est pas Danette, c'est dégueulasse à en gerber, vieille bique. Donc si on prend de la bouffe qu'est pas de la Danette, c'est de la merde, CQFD (connerie quantique, fadaise désencyclopédique).
Le théorème de la botte secrète
D'après l'épisode 32 saison 1 de la série Kaamelott, alinéa 4, paragraphe 32, contre-loi abrogée du 31 février 1981, le grand mathématicien et philosophe John Karadoc cite le théorème dit de la botte secrète : "C'est pas faux", qui est équivalent à l'énoncé suivant : Si on ne peut pas prouver que c'est faux, alors c'est vrai. Ainsi, tout ce qu'on ne peut pas montrer qui est faux est forcément vrai. Attention, il ne faut pas confondre avec le Théorème des Pipeaux, qui dit que tout ce qui PEUT ne pas être faux est vrai.
Exemple : il y a des hippopotames amateurs de tecktonic qui dansent certains soirs en tutu et ballerines sur la face cachée de la Lune.
- Preuve : On ne peut pas montrer que c'est faux, donc d'après le théorème de la botte secrète, c'est vrai.
Suite d'équivalences
Deux assertions sont équivalentes si l'une découle de l'autre mais pas l'inverse : plus de précisions ici. On part du principe que découler est l'inverse de couler : donc si un élément coule de l'ensemble A, il découle de l'ensemble "non A".
Exemple : Montrer que la confiture Mère-Grand et la Cristalline (elle est si bonne !)(la Cristalline, pas la Mère-Grand !) sont équivalents.
- La confiture coule d'elle-même, donc elle découle du reste : la confiture et le reste sont donc équivalents.
- Le reste coule de source (théorème de David Copperfield), donc le reste ne découle pas de la source, ou découle de la non-source.
- La source découle de la Cristalline, mais la Cristalline coule de source, donc source et Cristalline ne sont pas équivalents, donc Cristalline et non-source sont équivalents.
- En conclusion, Kevin et Vanessa sont fous amoureux l'un de l'autre.
Méthodes de l'hypothèse, de l'imbécile, de l'autorité
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Le conseil de Carl Friedrich Gauss : |
| « Ta mère, ça déchire. » |
Voir l'article éminent des professeurs Barbenet, Singe4865, Gogo-nummu et 152.77.200.135 du complexe universitaire Jussieu. Un petit résumé :
- La méthode de l'hypothèse part du principe que si une assertion est vraie, alors elle est vraie. Elle permet de répondre aux questions ultra-mathématiques sur la théorie de la complexité telles que "Quelle est la couleur du cheval blanc de Chuck Norris ?".
- La méthode de l'imbécile utilise le principe qu'il n'y a que les imbéciles qui ne changent pas d'avis. Exemple d'utilisation : montrer que la méthode de l'imbécile est fausse :
- Disons que la méthode de l'imbécile est vraie. Comme je ne suis pas un imbécile, je change d'avis. Donc la méthode de l'imbécile est fausse, CQFD.
- La méthode de l'argument d'autorité : si quelqu'un de plus fort, plus intelligent, plus beau, plus dantesque, plus bordélique, plus sadomaso ou bien plus drogué que nous l'a dit juste avant, c'est que c'est vrai, vu qu'il s'y connaît mieux que nous ! Exemple d'utilisation : montrer que la méthode de l'imbécile est vraie :
- Cette méthode est vraie, car on dit qu'elle est vraie ici sur le site de la désencyclopédie.
Autre exemple, montrer que le grand théorème de Fermat est vraie.
- Fermat était un grand mathématicien boutonneux et complètement fermé au monde extérieur, il se droguait et vivait un environnement dantesque composé de porte-jarretelles, de tickets de métro mal rasés et de chaînes hifi débitant du Diam's et autres K-maro, donc il était plus sadomaso que moi... Ah non, pas possible (à l'heure où j'écris cet article, je porte une cagoule en latex et suis en train de fouetter mon clavier avec une vieille ceinture à clous rouillés). Donc il devait être plus amateur de musique country, donc par la méthode de l'autorité, c'est vrai.
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